3ème Championnat de France des Jeux Mathématiques et Logiques
éliminatoires individuelles

Catégories

• Catégorie C1: élèves de 6ème et 5ème.
• Catégorie C2: élèves de 4ème et 3ème.
• Catégorie LY: élèves de lycées (2ème cycle).
• Catégorie GP: grand public.
• Catégorie HC: haute compétition.

Enoncés des problèmes

1 - LE DÉBUT DE CARRÉ (coefficient 1)

Quel est le plus petit nombre entier naturel dont le carré admet pour premiers quatre chiffres, en système décimal, 1989 dans cet ordre?

2 - LA FRACTION DU BICENTENAIRE (coefficient 2)

Sur l'écran d'une calculette qui ne permet de donner que 8 chiffres, on observe le nombre obtenu comme quotient de deux entiers naturels A et B: 1,789 1989. Ce résultat est naturellement la valeur approchée à 10^-7 du quotient. Quelle est la plus petite valeur possible du dénominateur?

3 - LES CARREAUX (coefficient 3)

Je possède dix mille petits carreaux identiques. En en prenant un certain nombre N, j'ai formé sur le sol une surface carrée. J'en ai ensuite rajouté 1989 pour former, avec les premiers, une surface carrée plus grande. De combien de carreaux me suis-je servi pour former mon premier carré?

4 - INSTABILITÉ CHRONIQUE (coefficient 4)

Une partie G de l'ensemble des 1989 premiers nombres (1, 2, 3, ..., 1989) est totalement instable si la somme de 2 nombres de G n'est jamais égale à un nombre de G. Quelle est la taille maximum d'une partie totalement instable?

5 - LES NOMBRES BÈGUES (coefficient 5)

On remarque que 19² + 89² = 8282. Combien y a-t-il de nombres bègues (à 4 chiffres de la forme abab) égaux à la somme de deux carrés, en dehors de 8282? En donner deux.

6 - LE CIRCUIT MAXIMAL (coefficient 6)

On considère un quadrillage carré 1989 × 1989, comportant des noeuds (intersections), et des arêtes de longueur 1 (segments joignant deux noeuds). Quelle est la longueur du circuit le plus long (chemin partant d'un noeud et aboutissant à ce noeud) sachant qu'on ne peut emprunter qu'une seule fois une arête et qu'on ne peut passer qu'une seule fois sur un noeud (à l'exception du point de départ)?